Sommaire 
1Systèmes de coordonnées cartésiennes
1.2.1Un exemple : la ville hypothétique de Cartésia
1.2.2Espaces de coordonnées 2D arbitraires
1.2.3Spécifier des positions en 2D à l’aide de coordonnées cartésiennes
1.3.1Une dimension de plus, un axe de plus
1.3.2Spécifier des positions en 3D
1.3.3Espaces de coordonnées main gauche et main droite
1.3.4Quelques conventions importantes utilisées dans ce livre
1.4Divers
1.4.1Notation de sommation et de produit
1.4.3Angles, degrés et radians
1.4.4Fonctions trigonométriques
1.4.5Identités trigonométriques
1.5Exercices
2.1Définition mathématique d’un vecteur,
et autres considérations rébarbatives
2.2Définition géométrique d’un vecteur
2.3Représenter les vecteurs en coordonnées cartésiennes
2.3.1Un vecteur comme suite de déplacements
2.3.2Le vecteur nul
2.4.1Position relative
2.4.2La relation entre points et vecteurs
2.4.3Tout est relatif
2.5.1Règles officielles d’algèbre linéaire
2.5.2Interprétation géométrique
2.6Multiplication d’un vecteur par un scalaire
2.6.1Règles officielles d’algèbre linéaire
2.6.2Interprétation géométrique
2.7Addition et soustraction de vecteurs
2.7.1Règles officielles d’algèbre linéaire
2.7.2Interprétation géométrique
2.7.3Vecteur déplacement d’un point à un autre
2.8Norme d’un vecteur (longueur)
2.8.1Règles officielles d’algèbre linéaire
2.8.2Interprétation géométrique
2.9.1Règles officielles d’algèbre linéaire
2.9.2Interprétation géométrique
2.11Produit scalaire de vecteurs
2.11.1Règles officielles d’algèbre linéaire
2.11.2Interprétation géométrique
2.12.1Règles officielles d’algèbre linéaire
2.12.2Interprétation géométrique
2.13Identités d’algèbre linéaire
2.14Exercices
3Espaces de coordonnées multiples
3.1Pourquoi se préoccuper de plusieurs espaces de coordonnées ?
3.2Quelques espaces de coordonnées utiles
3.2.1Espace monde
3.2.2Espace objet
3.2.3Espace caméra
3.2.4Espace droit
3.3Vecteurs de base et transformations d’espaces de coordonnées
3.3.1Double perspective
3.3.2Spécifier des espaces de coordonnées
3.3.3Vecteurs de base
3.4Espaces de coordonnées imbriqués
3.5Pour la défense de l’espace droit
3.6Exercices
4.1Définition mathématique d’une matrice
4.1.1Dimensions et notation des matrices
4.1.2Matrices carrées
4.1.3Vecteurs en tant que matrices
4.1.4Transposition d’une matrice
4.1.5Multiplication d’une matrice par un scalaire
4.1.6Multiplication de deux matrices
4.1.7Multiplication d’un vecteur et d’une matrice
4.1.8Vecteurs ligne versus vecteurs colonne
4.2Interprétation géométrique d’une matrice
4.3Vue d’ensemble de l’algèbre linéaire
4.4Exercices
5Matrices et transformations linéaires
5.1Rotation
5.1.1Rotation en 2D
5.1.2Rotation 3D autour des axes cardinaux
5.1.3Rotation 3D autour d’un axe arbitraire
5.2.1Mise à l’échelle le long des axes cardinaux
5.2.2Mise à l’échelle dans une direction arbitraire
5.3.1Projection sur un axe ou plan cardinal
5.3.2Projection sur une droite ou un plan arbitraire
5.4Réflexion
5.5Cisaillement
5.6Combinaison de transformations
5.7.1Transformations linéaires
5.7.3Transformations inversibles
5.7.4Transformations conservant les angles
5.7.5Transformations orthogonales
5.7.6Transformations de corps rigide
5.7.7Résumé des types de transformations
5.8Exercices
6.1.1Déterminants des matrices et
6.1.3Déterminants des matrices arbitraires
6.1.4Interprétation géométrique du déterminant
6.2.1L’adjoint classique
6.2.2Inverse d’une matrice — règles officielles d’algèbre linéaire
6.2.3Inverse d’une matrice — interprétation géométrique
6.3.1Matrices orthogonales — règles officielles d’algèbre linéaire
6.3.2Matrices orthogonales — interprétation géométrique
6.3.3Orthogonalisation d’une matrice
6.4.1Espace homogène 4D
6.4.2 Matrices de translation
6.4.3Transformations affines générales
6.5 Matrices et projection en perspective
6.5.1Un sténopé
6.5.2Matrices de projection en perspective
6.6Exercices
7Systèmes de coordonnées polaires
7.1.1Localiser des points à l’aide de coordonnées polaires 2D
7.1.2Ambiguïté
7.1.3Conversion entre coordonnées cartésiennes et polaires en 2D
7.2Pourquoi utiliser les coordonnées polaires ?
7.3.3Quelques conventions polaires utiles dans les mondes virtuels 3D
7.3.4Ambiguïté des coordonnées sphériques
7.3.5Conversion entre coordonnées sphériques et cartésiennes
7.4Utiliser les coordonnées polaires pour spécifier des vecteurs
7.5Exercices
8.1Qu’est-ce exactement que l’« orientation » ?
8.2.1Quelle matrice ?
8.2.2Matrice des cosinus directeurs
8.2.3Avantages de la forme matricielle
8.2.4Inconvénients de la forme matricielle
8.2.5Résumé de la forme matricielle
8.3.1Que sont les angles d’Euler ?
8.3.2Autres conventions pour les angles d’Euler
8.3.3Avantages des angles d’Euler
8.3.4Inconvénients des angles d’Euler
8.3.5Résumé des angles d’Euler
8.4Représentations axe-angle et carte exponentielle
8.5Quaternions
8.5.2Que signifient ces quatre nombres ?
8.5.6Conjugué et inverse d’un quaternion
8.5.7Multiplication de quaternions
8.5.8« Différence » de quaternions
8.5.9Produit scalaire de quaternions
8.5.10Logarithme, exponentielle et multiplication par un scalaire pour les quaternions
8.5.11Exponentiation des quaternions
8.5.12Interpolation de quaternions, a.k.a. Slerp
8.5.13Avantages et inconvénients des quaternions
8.5.14Les quaternions comme nombres complexes
8.5.15Résumé des quaternions
8.7Conversion entre les représentations
8.7.1Conversion des angles d’Euler en matrice
8.7.2Conversion d’une matrice en angles d’Euler
8.7.3Conversion d’un quaternion en matrice
8.7.4Conversion d’une matrice en quaternion
8.7.5Conversion des angles d’Euler en quaternion
8.7.6Conversion d’un quaternion en angles d’Euler
8.8Exercices
9.1Techniques de représentation
9.2.1Rayons
9.2.2Représentations 2D spéciales des droites
9.2.3Conversion entre représentations
9.4.2Calcul des AABB
9.4.3AABB versus sphères englobantes
9.5Plans
9.5.1L’équation du plan : une définition implicite d’un plan
9.5.2Définir un plan à l’aide de trois points
9.5.3Plan « meilleur ajustement » pour plus de trois points
9.5.4Distance d’un point à un plan
9.6Triangles
9.6.1Notation
9.6.2Aire d’un triangle
9.6.3Espace barycentrique
9.6.4Calcul des coordonnées barycentriques
9.6.5Points spéciaux
9.7Polygones
9.7.1Polygones simples versus complexes
9.7.2Polygones convexes versus concaves
9.7.3Triangulation et décomposition en éventail
9.8Exercices
10Sujets mathématiques
de la 3D graphique
10.1Comment fonctionne la synthèse d’images
10.1.1Les deux grandes approches du rendu
10.1.2Décrire les propriétés de surface : la BRDF
10.1.3Brève introduction à la colorimétrie et à la radiométrie
10.1.4L’équation de rendu
10.2.1Spécifier la fenêtre de sortie
10.2.2Rapport d’aspect des pixels
10.2.3Le frustum de vue
10.2.4Champ de vision et zoom
10.2.5Projection orthographique
10.3.1Espaces modèle, monde et caméra
10.3.2Espace de découpe et matrice de découpe
10.3.3La matrice de découpe : préparation à la projection
10.3.4La matrice de découpe : application du zoom et préparation au découpage
10.3.5Espace écran
10.3.6Résumé des espaces de coordonnées
10.4.1Maillage triangulaire indexé
10.4.2Normales de surface
10.6Le modèle d’éclairage local standard
10.6.1L’équation d’éclairage standard : vue d’ensemble
10.6.2La composante spéculaire
10.6.3La composante diffuse
10.6.4Les composantes ambiante et émissive
10.6.5L’équation d’éclairage : synthèse
10.6.6Limitations du modèle standard
10.6.7Rendu plat et ombrage de Gouraud
10.7.1Types de lumières abstraites standard
10.7.2Atténuation de la lumière
10.7.3 Lumières volumétriques à la Doom
10.7.4Éclairage précalculé
10.9Bump mapping
10.9.1Espace tangent
10.9.2Calcul des vecteurs de base de l’espace tangent
10.10Le pipeline graphique en temps réel
10.10.1Tampons
10.10.2Envoi de la géométrie
10.10.3Opérations au niveau des sommets
10.10.4Découpage
10.10.5Élimination des faces arrière
10.10.6Rastérisation, ombrage et sortie
10.11.1Ombrage décalé et bases du HLSL
10.11.2Éclairage Blinn-Phong basique par pixel
10.11.3Ombrage de Gouraud
10.11.4Bump mapping
10.11.5Maillage skinné
10.13Exercices
11Mécanique 1 : cinématique linéaire et calcul infinitésimal
11.1Vue d’ensemble et autres remarques pour réduire les attentes
11.1.1Qu’est-ce qui est omis ?
11.1.2Quelques simplifications utiles sur notre univers
11.2Grandeurs et unités de base
11.3Vitesse moyenne
11.4Vitesse instantanée et dérivée
11.4.1Arguments de limite et définition de la dérivée
11.4.2Exemples de dérivées
11.4.3Calcul de dérivées à partir de la définition
11.4.4Notations pour la dérivée
11.4.5Quelques règles et raccourcis de dérivation
11.4.6Dérivées de quelques fonctions spéciales avec les séries de Taylor
11.4.7La règle de la chaîne
11.5Accélération
11.6Mouvement sous accélération constante
11.7L’intégrale
11.7.1Exemples d’intégrales
11.7.2La relation entre la dérivée et l’intégrale
11.7.3Résumé du calcul infinitésimal
11.8Mouvement circulaire uniforme
11.8.1Mouvement circulaire uniforme dans le plan
11.8.2Mouvement circulaire uniforme en trois dimensions
11.9Exercices
12Mécanique 2 : dynamique linéaire et rotationnelle
12.1.1Les deux premières lois de Newton : force et masse
12.1.2Référentiels inertiels
12.1.3La troisième loi de Newton
12.2Quelques lois de force simples
12.2.1Force gravitationnelle
12.2.2Forces de frottement
12.2.3Forces de ressort
12.3.1Conservation de la quantité de mouvement
12.3.2Le centre de masse
12.4Forces impulsives et collisions
12.4.1Collisions parfaitement inélastiques
12.4.2Réponse aux collisions en général
12.4.3Le delta de Dirac
12.5.1Cinématique rotationnelle
12.5.2Dynamique rotationnelle en 2D
12.5.3Dynamique rotationnelle en 3D
12.5.4Réponse aux collisions avec rotations
12.6Simulateurs de corps rigides en temps réel
12.6.1Variables d’état du moteur physique
12.6.2Vue d’ensemble de haut niveau
12.6.3Intégration d’Euler
12.6.4Intégration de la rotation
12.8Exercices
13.1Courbes polynomiales paramétriques
13.1.1Courbes paramétriques
13.1.2Courbes polynomiales
13.1.3Notation matricielle
13.1.4Deux types triviaux de courbes
13.1.5Extrémités en forme monomiale
13.1.6Vitesses et tangentes
13.2.1Algorithme d’Aitken
13.2.2Polynômes de base de Lagrange
13.2.3Résumé de l’interpolation polynomiale
13.4.1L’algorithme de de Casteljau
13.4.2La base de Bernstein
13.4.3Dérivées de Bézier et leur relation avec la forme d’Hermite
13.5Subdivision
13.5.1Subdivision de courbes en forme monomiale
13.5.2Subdivision de courbes en forme de Bézier
13.6Splines
13.6.1Les règles du jeu
13.6.2Nœuds
13.7Splines d’Hermite et de Bézier
13.8Continuité
13.8.1Continuité paramétrique
13.8.2Continuité géométrique
13.8.3Jusqu’où peut-on lisser une courbe ?
13.9Contrôle automatique des tangentes
13.9.1Splines de Catmull-Rom
13.9.2Splines TCB
13.9.3Conditions aux extrémités
13.10Exercices
14Postface
14.1Et maintenant ?
14.2Exercices
A.1Point le plus proche sur une droite implicite 2D
A.2Point le plus proche sur un rayon paramétrique
A.3Point le plus proche sur un plan
A.4Point le plus proche sur un cercle ou une sphère
A.5Point le plus proche dans une AABB
A.7Intersection de deux droites implicites en 2D
A.8Intersection de deux rayons en 3D
A.9Intersection d’un rayon et d’un plan
A.10Intersection d’une AABB et d’un plan
A.11Intersection de trois plans
A.12Intersection d’un rayon et d’un cercle ou d’une sphère
A.13Intersection de deux cercles ou sphères
A.14Intersection d’une sphère et d’une AABB
A.15Intersection d’une sphère et d’un plan
A.16Intersection d’un rayon et d’un triangle
A.18Intersection d’un rayon et d’une AABB
B.1Chapitre 1
B.2Chapitre 2
B.3Chapitre 3
B.4Chapitre 4
B.5Chapitre 5
B.6Chapitre 6
B.7Chapitre 7
B.8Chapitre 8
B.9Chapitre 9
B.10Chapitre 10
B.11Chapitre 11
B.12Chapitre 12
B.13Chapitre 13
B.14Chapitre 14
Tant de temps, et si peu à faire !
Non, inversez ça.
— Willy Wonka